目の周りが濡れているということですので、涙が見られている状況ではないかと考えられます。この涙が見られることとしては、目自体に問題がある場合と、目と鼻を繋ぐ管（鼻涙管）が詰まっている場合、歯にトラブルがあるなどのことが原因として考えられるかと思います。また、目に直接的な刺激となる、埃やチリなどがないか、飼育環境や、牧草やぺレットの粉っぽさなども見直してみていただくこともよいのかもしれません。今回の場合には、小型犬をお迎えしているという環境の変化があります。うさぎにとって犬は捕食する敵でもありますので、お互いがより快適に過ごすことができる環境を考え、それを提供してあげることは重要なことです。また、別の生き物が増えたことで、住まいの環境自体にも変化が起きている可能性もあることだと思います。衛生面に問題がないかなど、今一度確認していただくことも大切なことだと思います。そして、目の周りが濡れ続けていることで、その部分がデリケートになってしまっていることでもあるのではないでしょうか。炎症も見られやすい状況でもあると思いますので、早めの処置も必要だと思います。適切な処置を行ってもらえるように、かかりつけの獣医師に診ていただきましょう。そして原因がどこにあるのかということも含めて、ご相談していただくことがよいのだと思います。