うさぎさんは興奮した時だったり、または縄張りの意味を込めてなどでもおしっこをしてしまうことがありますよね。今回の場合は、興奮状態というよりも落ち着いて座った場合のようでもありますね。はちこ様が心配されているようにお漏らし（失禁）の可能性も考えられることが必要かもしれません。
尿路系の問題や、排泄器の問題がある場合などにこの尿失禁が見られる場合があります。症状としてはうさぎさんに元気はありますが、排泄器まわりが汚れたり、ただれたりしてきます。
はちこ様のうさぎさんの状態を観察されて、可能性があるようであれば、専門家の獣医師に相談していただきたいと思います。